考虑一致连续定理的证明思路

一致连续性定理

也称 Cantor定理 , 叙述如下:

Cantor定理 闭区间连续函数一致连续.

考虑证明思路?

如果用常规思路判断,则可以列出要证的定理:
$$\forall{\epsilon>0;a,b\in\mathbf{I}}\exists{\delta>0}, |a-b|<\delta\rightarrow|f(a)-f(b)|<\epsilon$$
而由连续知
$$\forall{\epsilon>0;x_0 \in\mathbf{I}}\exists{\delta>0}, |x-x_0|<\delta\rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\tag{1}$$
对于$\forall x_0\exists\delta$使上式成立, 若取$\delta = \max{\delta_0,\delta_1,\cdots,\delta_n,\cdots}$则可证.

但是此处取$\delta_k$实际上涉及到未解决的无穷个取值, 则不能这样考虑.
由是自然想到反证: 是否存在
$$\exists\epsilon>0\forall\delta>0\exists a,b\in \mathbf{I},|a-b|<\delta\rightarrow|f(a)-f(b)|>\epsilon$$
选取点列$\delta_0,\delta_1,\cdots$使满足$\forall{k\in\mathbb{N}},\delta_k>\delta_{k+1}>0$, 由是可标记对应的$|a_k-b_k|<\delta_k$. 由聚点定理知, 有界点列有收敛子列, 则有$b_{n_k}\rightarrow x_0$.

取出对应的子列则有
$$\exists\epsilon>0;C\in \mathbf{I}\forall\delta>0,|a-C|<\delta\rightarrow|f(a)-f(C)|>\epsilon\tag{2}$$
而$(1)$与$(2)$矛盾,由是
$$\forall{\epsilon>0;a,b\in\mathbf{I}}\exists{\delta>0}, |a-b|<\delta\rightarrow|f(a)-f(b)|<\epsilon$$
成立.