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考虑一致连续定理的证明思路

一致连续性定理

也称 Cantor定理 , 叙述如下:

Cantor定理 闭区间连续函数一致连续.

考虑证明思路?

如果用常规思路判断,则可以列出要证的定理:

∀ϵ>0;a,b∈𝐈∃δ>0,|a−b|<δ→|f(a)−f(b)|<ϵ\forall{\epsilon>0;a,b\in\mathbf{I}}\exists{\delta>0}, |a-b|<\delta\rightarrow|f(a)-f(b)|<\epsilon
而由连续知
∀ϵ>0;x0∈𝐈∃δ>0,|x−x0|<δ→|f(x)−f(x0)|<ϵ\forall{\epsilon>0;x_0 \in\mathbf{I}}\exists{\delta>0}, |x-x_0|<\delta\rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\tag{1}
对于∀x0∃δ\forall x_0\exists\delta使上式成立, 若取δ=max{δ0,δ1,⋯,δn,⋯}\delta = \max\{\delta_0,\delta_1,\cdots,\delta_n,\cdots\}则可证.

但是此处取δk\delta_k实际上涉及到未解决的无穷个取值, 则不能这样考虑. 由是自然想到反证: 是否存在

∃ϵ>0∀δ>0∃a,b∈𝐈,|a−b|<δ→|f(a)−f(b)|>ϵ\exists\epsilon>0\forall\delta>0\exists a,b\in \mathbf{I},|a-b|<\delta\rightarrow|f(a)-f(b)|>\epsilon
选取点列δ0,δ1,⋯\delta_0,\delta_1,\cdots使满足∀k∈ℕ,δk>δk+1>0\forall{k\in\mathbb{N}},\delta_k>\delta_{k+1}>0, 由是可标记对应的|ak−bk|<δk|a_k-b_k|<\delta_k. 由聚点定理知, 有界点列有收敛子列, 则有bnk→x0b_{n_k}\rightarrow x_0.

取出对应的子列则有

∃ϵ>0;C∈𝐈∀δ>0,|a−C|<δ→|f(a)−f(C)|>ϵ\exists\epsilon>0;C\in \mathbf{I}\forall\delta>0,|a-C|<\delta\rightarrow|f(a)-f(C)|>\epsilon\tag{2}
而(1)(1)与(2)(2)矛盾,由是
∀ϵ>0;a,b∈𝐈∃δ>0,|a−b|<δ→|f(a)−f(b)|<ϵ\forall{\epsilon>0;a,b\in\mathbf{I}}\exists{\delta>0}, |a-b|<\delta\rightarrow|f(a)-f(b)|<\epsilon
成立.